Récréation géométrique
Le théâtre des variétés de dimension deux
La géométrie est un passe-temps qui consiste à étudier des formes, donc des courbes, des surfaces, des volumes, voire des objets de dimension supérieure à trois.
Le concept de dimension est intuitif : une ligne ou une courbe est un objet de dimension 1, une surface un objet de dimension 2, un volume un objet de dimension 3. Par extrapolation, les géomètres étudient aussi des objets de dimension supérieure à 3, domaine réservé aux seuls vrais professionnels de cette discipline.
La géométrie sert à faire de beaux dessins, qui permettent souvent de représenter le Monde qui nous entoure, surtout en dimension 4, celle de l’espace-temps, ou du Cosmos. D’où une conjonction du Vrai et du Beau, source d’émerveillement béat pour ces imbéciles de Filozofs, et leurs apprentis de (mauvaise) rencontre, comme un certain petit Manu Walker.
Dans la suite de ce billet, nous allons étudier les objets géométriques de dimension 2, et en tirer une classification des entités remarquables.
En préambule, il faut savoir que la droite, ensemble infini et continu de points, est identique à l’ensemble sans lacune des nombres réels, tel que décrit par le mathématicien Richard Dedekind.
Ensuite, le premier objet de dimension 2 à étudier est le plan, soit l’espace R2 des couples de nombres réels :
Le plan est un espace infini, dont chaque élément est défini par un couple de nombres réels, l’abscisse et l’ordonnée, dès lors que deux droites concourantes ont été choisies de manière arbitraire.
Si vous n’arrivez pas à visualiser mentalement ce concept, n’allez pas plus loin dans la lecture de ce billet !
En vérité, je vous le dis : vous êtes fait pour militer chez les Marcheurs à Manu !
Et non pour appréhender la marche du Monde.
La notion de variété topologique :
Une variété topologique de dimension deux est un ensemble de points qui peut localement se déformer de manière continue pour donner un morceau de plan.
Les termes localement et continue s’appuient sur la notion de voisinage d’un point, qui caractérise la topologie de cet ensemble de points.
Un ensemble de points peut être défini de plusieurs manières : par une équation ou une inéquation, par une représentation paramétrique ou par un procédé de recollement. Par exemple, l’ensemble des points du cercle de rayon 1 peut se définir de deux façons dans le plan bidimensionnel R2, où x et y sont les coordonnées :
-
- Par l’équation x2 + y2 = 1
- Par la représentation paramétrique :
- x = cos (phi)
- y = sin (phi)
phi étant un nombre réel quelconque pris dans l’intervalle entre 0 et 2*pi , sinus et cosinus étant des fonctions réelles bien connues, documentées, et surtout calculables avec une précision sans limite.
La structure topologique est le niveau le plus bas d’exigence pour un objet géométrique. Soit :
Objet géométrique = 1 ensemble de points + 1 structure topologique.
La structure topologique d’un ensemble de points n’a pas forcément un caractère unique. Ainsi, il existe plusieurs structures topologiques différentes sur l’ensemble R4, espace quadridimensionnel le plus simple, dont certaines sont qualifiées d’exotiques. Tout un programme !
Deux objets géométriques sont dits équivalents topologiquement si on peut passer du premier au second par une déformation continue. Ainsi le cube et la sphère sont deux objets équivalents d’un point de vue topologique.
Une propriété intéressante d’une objet géométrique est sa compacité. Par un raccourci réducteur, on peut dire qu’une variété est compacte, s’il n’existe pas de points à l’infini. Quand la variété est compacte, les processus de recherche par itérations, très utilisés dans certaines démonstrations, sont bien plus faciles.
Ensuite, si la variété a de bonnes propriétés, on peut aussi définir une structure métrique, par la donnée de la distance entre deux points, et si la variété a d’excellentes propriétés, une structure riemannienne, par la donnée d’un produit scalaire, qui permettra de définir des angles. Et la bonne vieille géométrie classique consiste à étudier des figures planes construites avec des distances et des angles, avec une règle et un rapporteur. Les puristes, ou les francs-macs:., diront plutôt avec une règle et un compas, pour respecter une très vieille tradition. Si cela peut leur faire plaisir, …
L’enchainement logique est le suivant : une structure riemannienne permet de définir une distance entre deux points, calculée en suivant le chemin géodésique entre ces deux points, donc une structure métrique, et une structure métrique donne naissance canoniquement à un ensemble de voisinages, donc une structure topologique.
La classification des variétés remarquables de dimension deux :
Le disque de rayon 1, aussi appelé D
Défini par l’inéquation dans R2 : x2 + y2 <= 1
La bande unitaire est le morceau infini du plan R2,compris entre les droites x = 0 et x = 1, donc défini par les inéquations 0 <= x <= 1.
Très clairement, la bande unitaire est une variété topologique non compacte avec deux bords.
Les deux recollements canoniques de la bande unitaire :
- Le cylindre de révolution. Équation dans R3 : x2 + y2 = R2 = (1/ 2* pi)^2
- Le ruban de Moebius
Explication concrète :
La bande unitaire possède deux bords, qui sont deux droites verticales.
L’opération de recollement consiste à superposer ces deux bords de manière continue.
Il n’existe que deux classes de possibilités, qui ont pour représentants canoniques :
Coller le point de coordonnées (0, y) avec le point (1, y) ce qui donne un cylindre de révolution,
ou bien,
coller le point de coordonnées (0, y) avec le point (1, -y) moyennant une torsion à 180 degrés de la bande unitaire, ce qui donne le ruban de Moebius.
Les quatre recollements possibles du carré unitaire :
Le carré unitaire de R2 est défini par deux séries d’inéquations, à savoir 0 <= x <= 1 et 0 <= y <= 1.
- Le tore ou T2
- Le plan projectif réel ou P2(R)
- La bouteille de Klein
- L’équivalent topologique de la sphère
La sphère ou S2
Équation dans R3, espace tridimensionnel : x2 + y2 + z2 = 1
Cylindre de révolution
Ruban de Moebius
Tore
Plan projectif
Bouteille de Klein
Sphère
Le meilleur pour la fin :
Le disque de Poincaré, exemple simple de géométrie non-euclidienne, dans laquelle le postulat des parallèles d’Euclide ne s’applique pas.
Henri Poincaré, illustre Lorrain, est le fondateur de la topologie, entre autres choses.
Disque de Poincaré
