Euclide

opala
Avis au lecteur :
Cet article est garanti scientifique à 100%, et sans aucune impureté d’origine médicale ou pharmaceutique. C’est important de le préciser en ces temps troubles.

Que nul n’entre ici, s’il n’est géomètre.
Pythagore.

Euclide

Le livre de géométrie Les Éléments d’Euclide est le deuxième ouvrage le plus diffusé dans les débuts de l’imprimerie Occidentale, après la Bible. Après un ouvrage religieux, vient donc un ouvrage scientifique.
Les Éléments d’Euclide présentent un enseignement de la géométrie, plane et tridimensionnelle, dans une approche à la fois rigoureuse et progressive. Blaise Pascal apprit la géométrie dans sa jeunesse en lisant cet ouvrage de référence. On peut dire que cette lecture de jeunesse lui a plutôt bien réussi dans la suite de son brillant parcours.

L’auteur, Euclide, un mathématicien, est l’exemple parfait de l’illustre inconnu : on sait tout de son œuvre et rien de sa vie, sinon qu’il vécut à Alexandrie en Égypte à l’époque hellénistique, vers 300 avant J-C. Il a donné son nom à la géométrie du plan, connue comme la géométrie euclidienne.

L’enseignement de la géométrie a été saboté en France, par une clique maléfique qui a instauré la dictature des maths soi-disant modernes, alias la très rebutante théorie des ensembles, pour dégouter la jeunesse Française de cette discipline scientifique.
Il convient donc de revenir aux fondamentaux de la géométrie, posés par Euclide, pour avoir une vision claire, nette, et précise de cette Science, qui a été ensuite enrichie au 19e Siècle par les géomètres Allemands Gauss, Riemann, et Félix Klein. C’est une tâche nécessaire de vulgarisation scientifique. Vous trouverez donc ci-après un exposé sur les notions fondamentales de la géométrie euclidienne, sans un appareil rigoureux de démonstrations, qui alourdirait le propos.

La géométrie euclidienne a pour hypothèses de départ quatre axiomes et un postulat. Un axiome est une proposition qui est posée sans justification. Un postulat diffère d’un axiome en ce sens qu’il est aussi posé de manière arbitraire, mais pourrait éventuellement se déduire des axiomes.

La géométrie du plan exposée par Euclide repose sur des définitions préliminaires :
Le plan est un ensemble de points, homogène, isotrope et infini. Le point est par définition un élément sans largeur, ni longueur.
Homogène : tous les points du plan possèdent les mêmes propriétés.
Isotrope : toutes les directions issues d’un point possèdent les mêmes propriétés.
Infini : à partir d’un point arbitraire, on trouvera toujours un autre point situé à une distance supérieure à un nombre arbitrairement grand.
La construction des ensembles de points se fait ensuite par la règle et le compas : la règle permet de construire des droites, et le compas, des cercles.
Le plan a donc deux bonnes qualités, l’homogénéité et l’isotropie, et un grave défaut, l’infinité, car les problèmes se rencontrent presque toujours à l’infini.

Les quatre axiomes de la géométrie euclidienne sont :

1. un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques distincts.
2. un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
3. étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses extrémités comme centre.
4. tous les angles droits sont congruents, ou superposables.

Le postulat des parallèles énonce :
si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.
Un énoncé logiquement équivalent, et plus parlant, de ce postulat est le suivant :
par un point extérieur à une droite on peut tracer une droite, et une seule, parallèle à cette droite.

Ce postulat a posé des problèmes pendant plus de 2000 ans aux géomètres. Son examen a conduit à une généralisation féconde de la géométrie euclidienne pour les surfaces courbes.

Vous apprendrez dans les billets ultérieurs qu’il existe trois, et seulement trois, espèces de géométrie pour les surfaces. Il y aura plein de jolis dessins et figures, pour bien faire comprendre les notions et les raisonnements, d’abord en étudiant le plan euclidien, puis les courbes planes, et enfin les surfaces courbes. Un bon dessin vaut mieux qu’un long discours.

Les concepts de base de la géométrie sont :
1/ des formes, ou figures, ou morphologies, essentiellement des triangles, des rectangles et des cercles, et plus rarement des polygones réguliers, comme un carré, un hexagone, un octogone.
2/ deux catégories de nombres, à savoir des longueurs et des angles.
3/ des opérations sur ces nombres, comme addition ou soustraction de longueurs, multiplication et extraction de racines carrées, ou division d’un angle en deux parties égales.
4/ des opérations sur les figures, comme translation, homothétie, rotation, ou symétrie.

Commençons par étudier les caractéristiques de ces deux catégories de nombres, les longueurs et les angles.

Sur les longueurs :
Pour assigner une longueur à un segment de droite, il faut disposer d’une référence de longueur, ou longueur unité. Le plan étant infini, cette longueur unité peut être totalement arbitraire. Dans la pratique, vous tracerez vos figures sur une feuille de papier limitée dans les deux dimensions. Vous choisirez donc une bonne unité de longueur qui permettra à la figure géométrique de ne pas déborder du cadre de la feuille. La longueur est une grandeur additive. Si les points A, B et C sont alignés dans cet ordre, alors la longueur de AC sera égale à la somme des longueurs de AB et BC.
Cercle
Un cas très intéressant est la détermination de la longueur C de la circonférence du cercle de diamètre D. Le rapport entre cette circonférence C et le diamètre D du cercle donne la définition du nombre pi, ou π, à savoir :
π := C/D
Ensuite, les mathématiciens ont bricolé pendant des siècles pour obtenir une valeur numérique du nombre π avec une précision croissante :
dans l’ancienne Babylone, cette valeur approchée était la fraction 25/8, soit 3,125, puis Archimède de Syracuse a obtenu une valeur plus proche de la bonne valeur : 3,14159.
Il faut donc se souvenir que l’égalité C = 2  * π * R, où R est le rayon, n’est pas une formule, mais la définition du nombre π.

Sur les angles :
angle
Comme vous pouvez le constater sur la figure, l’angle α est défini par la donnée de trois points :
Le sommet ou S, et deux points distincts de S, soit A et C.
L’angle α mesure la quantité de la rotation autour de S qui permet de superposer exactement la demi-droite SA sur la demi-droite SC. Par convention arbitraire, le sens choisi pour la rotation est le sens contraire au sens de rotation des aiguilles d’une montre. Ensuite, il faut définir une unité pour la mesure d’un angle, et on trouve couramment deux unités : le degré ou °, et le radian ou rd.
La navigation, l’astronomie, l’architecture, et la vie courante utilisent le degré.
Les mathématiciens, hommes de réflexion, utilisent le radian, là où les artilleurs, hommes d’action, utilisent le millième, ou mil angulaire.
Cette différence d’unité tient uniquement à des raisons pratiques de facilité d’emploi. De la même manière que dans votre véhicule, il sera plus pratique de savoir que vous roulez à 72 km/h, plutôt qu’à 20 m/s, même si ce sont deux représentions équivalentes d’une même grandeur physique.
Le degré et le radian se différencient par la valeur de référence affectée à un tour complet : 360 pour le degré, et 2π pour le radian.
Le choix très ancien de la valeur 360 par les Mésopotamiens se justifie par le grand nombre de ses diviseurs, entre autres : 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 et 24. Ainsi, les opérations de division donnent des nombres entiers, bien plus pratiques. Par exemple, la division d’une journée en 24 heures vient de cette observation astronomique : la Terre faisant une rotation de 360° en une journée, et un angle de 15° étant facilement tracé par la division par 4 de l’angle de 60°, il est logique de diviser 360 par 15 ce qui donne précisément le nombre entier 24. L’étalon de temps sera ensuite obtenu en suivant avec un simple cercle gradué le mouvement d’une étoile très brillante et assez proche de l’équateur céleste, comme Sirius.
Les angles remarquables sont l’angle plat ou 180°, quand A et C sont alignés de part et d’autre du sommet, et l’angle droit ou 90°, qui est la moitié de l’angle plat, et les angles de 30°, 45° et 60°. L’angle de 60° s’obtient facilement en traçant un triangle équilatéral, et les angles de 30°, 45° par bissection, ou division en deux des angles de 60° et 90°.
Une propriété importante et remarquable de tous les triangles en géométrie euclidienne est que la somme des trois angles vaut toujours 180°, ou deux angles droits. Cette propriété n’est plus vraie pour les triangles dessinés sur des surfaces courbes.
Avec la règle et le compas, vous pouvez ensuite construire des figures intéressantes, comme le losange, quadrilatère dont les quatre cotés ont la même longueur, le rectangle, quadrilatère qui possède quatre angles droits, et dont le carré est un cas particulier, et des triangles rectangles, qui sont des moitiés d’un rectangle.

rectangle

Les aires
Les longueurs et les angles ayant été définis, on peut passer à la mesure des surfaces. L’aire d’un rectangle est le produit de ses deux dimensions, la longueur par la largeur. L’aire d’un triangle rectangle, comme ABC dans la figure est la moitié de l’aire du rectangle correspondant ABCD, et donc 1/2 * b * h. L’aire du disque de rayon R est égale à π * R *R.  La démonstration de cette formule se fait facilement  en découpant le disque en fines parts de tarte. Ensuite, vous faites tendre l’angle de la part de tarte vers zéro, ce qui fait tendre le nombre de parts vers l’infini. Pour obtenir la bonne formule, vous utiliserez un vieux truc de matheux, ou de physicien : multipliez zéro par l’infini. Les niais diront que c’est une opération interdite, et c’est ainsi que vous démasquerez les niais, qui ne savent pas faire correctement un passage aux limites. En effet, le zéro multiplié par l’infini permet souvent d’obtenir un résultat fini non nul, et c’est le cas ici et maintenant.

Le problème de la quadrature du cercle est le suivant :
Est-il possible de construire avec une règle et un compas un carré ayant la même aire que le cercle de rayon R ?
La réponse à cette question est la suivante :
Avec une règle et un compas, vous ne pouvez construire que des fractions de nombres entiers, ou nombres rationnels, et certains irrationnels, mais pas un nombre transcendant, comme pi.
Un nombre réel est dit transcendant quand il n’est jamais un des zéros d’un polynôme à coefficients rationnels. Il a été démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann que pi est un nombre transcendant, donc la quadrature du cercle est impossible avec la règle et le compas.

Le théorème de Pythagore :
Ce fameux théorème énonce que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des petites cotés est égale au carré de l’hypoténuse. Sous une apparence anodine, ce fameux théorème va vous plonger dans les affres de l’irrationnel, et la preuve se trouve dans le célèbre problème de la diagonale du carré.

La preuve par une petite virée à Rochefort-sur-Mer, cité au plan en quadrillage.
Pour une raison obscure, vous avez décidé de prendre le bon air pendant vos vacances et de visiter Rochefort-sur-Mer, où l’hôtel de la Belle Ferronnière vous hébergera, pour un rapport qualité/prix inconnu à Paris. Logé dans un bâtiment somptueux du Grand Siècle, cet hôtel offre en plus tous les agréments du confort moderne, dans une habile synthèse entre tradition et modernité.

Vous demandez à madame Calypso, la patronne de l’hôtel, de vous indiquer les curiosités locales, et cette charmante dame aux belles boucles vous recommande de visiter  la reproduction du navire Hermione, un vaisseau maudit du 18e siècle, vaisseau fantôme hanté par un spectre, non point celui du Hollandais voleur (pléonasme), mais par le spectre d’un certain La Fayette, un illustre imbécile:.
diagonale_carré
La plan de situation est le suivant :
l’hôtel de la Belle Ferronnière se situe au point A,
le navire Hermione se situe au point C,
les rues de Rochefort se coupent à angle droit, ou 90°, et votre chemin de l’hôtel vers le vaisseau maudit vous fera parcourir 1 km vers le Sud, soit AD, puis 1 km vers l’Est, soit DC.

Question :
A vol d’oiseau, quelle est la distance, soit le nombre d, entre l’hôtel et le vaisseau maudit ?
Le triangle ADC est un triangle rectangle, dont AC est l’hypoténuse, donc le théorème de Pythagore donne :
d*d := AD*AD + DC*DC
Soit
d*d := 1*1 + 1*1 := 2
Donc :
d := √2
Combien vaut √2 et ce nombre peut-il être une fraction de deux entiers ?
La réponse est non :
Ce nombre ne peut pas être exprimé comme une fraction de deux entiers, et la démonstration n’est pas triviale. C’est un irrationnel et sa valeur numérique est de 1,414 et quelques.
La suite, dans un nouveau billet sur les courbes planes … bientôt !

La Belle Ferronnière, tableau de Léonard de Vinci, visible au musée du Louvre.

belle_ferronière

A propos Le Rabouilleur

Les affaires et les sciences : telles sont mes deux occupations. Devise : nous n'irons pas à Canossa ! ni à Chicago !
Cet article, publié dans sciences, est tagué . Ajoutez ce permalien à vos favoris.

3 commentaires pour Euclide

  1. Pangloss dit :

    Allez voir « Le géométricon » de Jean-Pierre Petit aux éditions Belin.

    • Merci du conseil
      Après vérification, ce livre n’est plus édité par Belin.
      Les bons livres disparaissent de la circulation.
      Chercherait-on à fabriquer des crétins ?

  2. Pangloss dit :

    Dommage! Une explication des géométries non euclidiennes pour les très nuls. Et on comprend tout!

Votre commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s