Courbure dans le plan

Suite du cours de géométrie : leçon n°5

Le déroulement de ces leçons de géométrie permettra d’aboutir à la formule de Gauss-Bonnet, une relation entre les propriétés métrique et topologique d’une surface régulière, espace de dimension deux, plongé dans un espace à trois dimensions. Il faut passer par trois étapes :

  • La définition de la courbure locale d’une courbe du plan euclidien.
  • La définition de la courbure locale d’une surface de l’espace euclidien à trois dimensions.
  • Le calcul de la quantité totale de courbure d’une surface régulière, comme la sphère, ou le tore, ou le ballon de rugby, soit un ellipsoïde.

Cette leçon de géométrie va permettre de définir et de caractériser la courbure locale d’une courbe dans un plan euclidien, la courbe étant supposée suffisamment lisse, ou régulière. Le cas le plus simple de courbe lisse à étudier est la parabole, qui a pour équation :
y = f(x) = x^2.
Et sur la parabole, le point le plus simple à étudier est le point O, ou origine, ayant pour coordonnées dans le repère cartésien le couple de nombres réels (0,0).

D’où la question, quelle est la courbure de la parabole au point O, ou origine des coordonnées ?

Pour répondre à cette question, il faut faire un détour par la construction, à la règle et au compas, du cercle circonscrit à un triangle ABC. En effet, par 3 points non alignés, passe un cercle et un seul, comme dans ce dessin :

Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC se construit par l’intersection de 2 parmi les 3 médiatrices des segments AB, BC, et CA.

Pour calculer la courbure de la parabole à l’origine, il suffit d’utiliser une technique mathématique appelée l’interpolation. Cette technique consiste à trouver le cercle qui passe par trois points non alignés situés sur la parabole. Il est possible de prouver que 3 points choisis sur la parabole ne sont jamais alignés.
Ces trois points seront choisis judicieusement pour simplifier au maximum les calculs à savoir :
O ou l’origine, de coordonnées (0,0)
M, un point de la parabole, proche de O, donc de coordonnées (t, t^2)
M’, le symétrique de M par rapport à l’axe vertical, également situé sur la courbe, de coordonnées (-t, t^2)
Comme dans cette figure :

Cercle circonscrit à la parabole
Cercle d’interpolation de 3 points

Ensuite, on fait tendre les points M et M’ vers O, et la figure suivante donne une représentation du phénomène du cercle limite, aussi appelé cercle osculateur :

Reste à calculer le rayon R du cercle de centre C ayant pour coordonnées (a,b), qui passe par les points O, M et M’. Puis à faire tendre M et M’ vers O, et en déduire le rayon R à la limite, ou rayon de courbure de la parabole à l’origine.
Pour simplifier le calcul, il faut voir que le centre C du cercle se trouve sur la médiatrice du segment MM’, qui est l’axe des y, et C est situé à un rayon de l’origine O. Les coordonnées de C sont donc (0, R). Ensuite, l’équation du cercle appliquée au point M donne :
MC^2 = R^2 soit
t^2 + (t^2 – R)^2 = R^2
t^4 + (1 – 2R) * t^2 = 0
puis, en éliminant le facteur t^2
t^2 + 1 – 2R = 0
Ce qui donne l’expression du rayon R en fonction de la variable t :
R = 1/2 * (1 + t^2)
En faisant tendre M et M¨vers O, on fait tendre t vers zéro.
La limite du rayon est donc de R = 1/2 ou 0,5.

On peut ensuite tenter une généralisation en étudiant la famille des paraboles avec un paramètre k strictement positif, soit les fonctions d’expression algébrique :
y = f(x) = k * x^2
D’un point de vue géométrique, plus le paramètre k est faible, plus la parabole est aplatie au voisinage de l’origine des coordonnées, ou point O.
Les mêmes calculs donnent l’expression du rayon R en fonction de la variable t :
R = 1/2k + (1/2) * k * t^2
La limite du rayon de courbure quand t se rapproche de zéro, est donc :
R = 1/2k.
Le rayon de courbure de la parabole est inversement proportionnel à l’aplatissement de la courbe, tendance conforme à l’intuition géométrique.

Dans le cas simple et favorable des paraboles, il faut tenir compte du fait suivant : la parabole est une courbe concave, car sa dérivée seconde est toujours positive. En effet, les fonctions dérivée première, et dérivée seconde ont pour expression :
f’ ‘(x) = 2 * k * x
f « (x) = 2 * k
Avec k strictement positif, la dérivée seconde ne s’annule pas à l’origine O; elle est même strictement positive.

Étude qualitative des points de singularité
La question est la suivante :
Que se passe-t-il quand la dérivée seconde s’annule en un point de la courbe ?
Pour fournir une réponse, l’examen d’un exemple simple est nécessaire, comme le cas de la fonction cubique au voisinage du zéro.
La fonction cubique a pour équation algébrique :
y = f(x) = x^3
Sa dérivée première est :
y = f »(x) = 3 * x^2
Sa dérivée seconde est :
y = f »(x) = 6 * x
Sa dérivée seconde s’annule donc seulement pour x = 0, qui correspond à une singularité.
La représentation graphique de la fonction cubique est la suivante :

On constate que la concavité de la cubique est orientée vers le bas pour les valeurs de x négatives, et orientée vers le haut pour les valeurs de x positives.

Pour voir l’évolution du cercle interpolateur, la bonne méthode consiste à faire deux approches, une approche par le coté droit de l’origine, et une autre par le coté gauche.
Dans ce but, on choisit les 3 points suivants :
O, l’origine
M, un point d’abscisse t positive et d’ordonnée t^3
N, un point d’abscisse 2 * t positive et d’ordonnée 8 * t^3
Ensuite, en faisant décroitre la variable t vers 0, on constate que le cercle interpolateur de O, M et N devient de plus en plus grand. Son rayon tend vers l’infini.
La même construction avec des points d’abscisse négative aboutit au même résultat : le rayon du cercle tend vers l’infini.

Pour s’affranchir de la singularité infinie, il existe une méthode simple, à savoir définir la courbure K comme l’inverse du rayon R du cercle osculateur, soit :
K = 1/R
Donc, la courbure à l’origine de la fonction cubique est nulle.

Les cas triviaux de la droite et du cercle s’en déduisent :
la courbure de la droite est toujours nulle.
la courbure du cercle de rayon R est constante et vaut 1/R.
Dans le cas de la parabole d’équation y = k * x^2, on trouve que la courbure au point origine vaut 2k.

A propos Le Rabouilleur

Les affaires et les sciences : telles sont mes deux occupations. Devise : nous n'irons pas à Canossa ! ni à Chicago !
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3 commentaires pour Courbure dans le plan

  1. Turdus dit :

    Après pas mal de feuilles griffonnées de formules de trigonométrie, je suis arrivé à la conclusion que le rayon de courbure d’une parabole d’équation Y=a.x² est 1/2.(a.x²+1/a) soit 1/(2.a) quand x tend vers zéro, ce qui après quelques recherches me semble correct, mais je n’ai pas les moyens de l’exposer ici.

  2. Turdus dit :

    Après pas mal de feuilles griffonnées de formules trigonométriques, j’en suis arrivé à la conclusion que la courbure à l’origine d’une parabole d’équation Y=a.x², est r = 1/2.(a.x²+1/a) soit quand x tend vers zéro r=1/(2.a).

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