Le pendule de Galilée

Galilée

Initiation à la mécanique

L’étude du mouvement du pendule par Galilée passe par trois étapes :
1/une constatation empirique que la période des oscillations d’un pendule, le lustre de la cathédrale de Pise, ne dépend pas de l’amplitude de son mouvement, à la condition que cette amplitude soit faible.
2/une étude en laboratoire du pendule, destinée à valider la première constatation empirique et fortuite. Les moyens techniques de mesure d’une durée étaient limités à l’époque de Galilée, mais il parvint à faire des mesures concluantes en utilisant un bon protocole, nécessitant peu d’instrumentation, car Galilée était fauché comme les blés.
3/Galilée arriva à démontrer que le mouvement du pendule ne dépend pas de la valeur de masse oscillante, et que la période des oscillations est proportionnelle à la racinée carrée de la longueur du fil. Des décennies plus tard, Newton donna une formulation plus complète de la nature du mouvement.

A/La constatation empirique initiale :
En utilisant la fréquence régulière de ses pulsations cardiaques, Galilée constate que la période des faibles oscillations du lustre ne dépend pas de l’amplitude du mouvement. C’est un phénomène physique de découplage entre l’amplitude et la période.

B/Le modèle théorique moderne :
Le modèle théorique moderne ne suit pas vraiment le raisonnement initial de Galilée, mais il est plus instructif et pédagogique, et plus complet, car il a été raffiné a posteriori par d’autres Scientifiques.
Le mouvement du pendule se place dans un plan défini par une droite, l’axe de la verticale et le point de départ initial du mouvement. Une droite et un point extérieur à la droite suffisent à définir un plan.
Donc, une première constatation expérimentale s’impose à l’observateur : le pendule se meut dans un plan. C’est vrai pour une courte durée, comme un quart d’heure. Sur une longue durée, on retrouve l’expérience du pendule de Foucault, mais c’est une autre histoire, beaucoup plus complexe.
Seconde constatation : la position de la masse oscillante est parfaitement et totalement connue par l’angle entre la verticale et la direction du fil soutenant cette masse. En clair, il suffit d’un seul paramètre, soit l’angle thêta ou θ, et de sa loi d’évolution dans le temps pour connaitre complétement l’état du système physique à un instant quelconque, soit au temps t. La masse accrochée à un fil est donc un des systèmes mécaniques les plus simples à étudier, car ce système dépend d’une seule variable fonction du temps t, l’angle θ.

Il existe trois positions remarquables d’un pendule ou d’une balançoire :
1/ la position la plus extrême à droite :
l’altitude est maximale et la vitesse s’annule, puisque le mouvement change de sens.
2/ la position verticale :
l’altitude est minimale et la vitesse est maximale.
3/ la position la plus extrême à gauche :
l’altitude est maximale et la vitesse s’annule de nouveau.


Pour simplifier au maximum les calculs, il faut choisir une unité adéquate pour exprimer la valeur de l’angle, et cette unité n’est pas le degré, mais le radian. En effet, l’expression de la longueur L de l’arc de cercle de rayon R intercepté par l’angle θ exprimé en degrés vaut :
L = 2π * R * (θ/360)
Mais, vous pouvez utiliser une autre unité bien plus commode, le radian, pour exprimer la valeur de l’angle, unité qui est définie ainsi :
L’angle de 360 degrés qui définit un tour de cercle complet vaut 2π radians.
Si vous utilisez une mesure de l’angle en radians, l’expression de L se simplifie en :
L = R * θ
De même, toutes les unités physiques dans cet exposé seront exprimées dans le système métrique, postérieur de deux siècles à Galilée, car ces unités sont bien plus simples à appréhender par le lecteur contemporain.
Le mouvement du lustre pendulaire de masse m peut s’expliquer par la théorie de l’énergie. L’énergie mécanique existe sous deux formes : l’énergie cinétique ou E, et l’énergie potentielle ou V, et l’addition de ces deux énergies donne l’énergie mécanique totale ou H.
Le mouvement d’une balançoire illustre un transfert dans le temps entre l’énergie potentielle et l’énergie cinétique, tout en conservant l’énergie mécanique totale, qui est un invariant du mouvement.
Le lecteur devra admettre les faits suivants :
L’énergie cinétique E de la masse oscillante m est égale à :
E = 1/2 * m * v^2
où v est la vitesse instantanée de la masse m, exprimée en mètre par seconde.
L’énergie potentielle, soit V, de la masse oscillante m est égale à :
V = m * g *z
où z est l’altitude de la masse par rapport au point d’équilibre et g l’accélération de la pesanteur, exprimée en mètre par seconde au carré, et d’une valeur de 9.81 m/s2.

L’énergie mécanique totale du système H est donc :
H = E + V = 1/2 * m * v^2 + m * g * z

Si on néglige les forces de frottement, comme la résistance de l’air, on trouve une loi de conservation, ou un invariant du système mécanique dans le temps :
H = constante
Ensuite, il faut exprimer H en fonction de l’angle thêta ou θ, soit :
H = 1/2 * m * (L * dθ/dt)^2 + m * g * L (1 -cosθ)
dθ/dt représente la vitesse angulaire, exprimée en radian/seconde.
On trouvera aussi l’accélération angulaire, dérivée seconde de l’angle par rapport au temps, exprimée en radian/seconde au carré écrite mathématiquement ainsi :
d2θ/dt
H est constante dans le temps, donc sa dérivée par rapport à la variable temps, soit le paramètre t, est nulle.
En dérivant cette égalité par rapport au temps t, on obtient une équation différentielle ordinaire de degré 2, équation qui donnera la loi d’évolution recherchée, soit la variation de l’angle θ en fonction de la variable temps, ou t :
dH/dt = 0
soit en appliquant les règles de la dérivation des fonctions :
(m * L^2 * dθ/dt * d2θ/dt) + (m* g * L * dθ/dt * sin (θ)) = 0

L’équation apparait compliquée à première vue, mais il est possible de la simplifier grandement, par 3 opérations.
1/ La première constatation à faire consiste à voir que m soit la masse peut s’éliminer de l’équation : une masse de 1 kg ou de 100 kg aura la même évolution dans le temps, à la condition que la masse du fil soit négligeable par rapport à la masse du pendule.
2/ Le paramètre de la longueur, ou L, apparait deux fois. On peut donc diviser l’équation par le facteur L.
3 / On peut factoriser la vitesse angulaire dθ/dt. L’équation prend alors la forme plus simple et plus agréable :
(dθ/dt) * (L * d2θ/dt + g * sin (θ)) = 0
Ensuite, on peut se débarrasser du facteur (dθ/dt). En effet, le cas dθ/dt = 0 correspond à la solution triviale du pendule immobile en position verticale. Dans cet état, appelé état fondamental, on constate :
θ = constante = 0, et z = constante = 0, et par voie de conséquence
E = V = H = constante = 0
D’où, l’équation après les simplifications et l’élimination du terme trivial :
d2θ/dt + (g/L)*sin(θ) = 0

Il ne restera plus qu’à résoudre cette équation différentielle ordinaire de degré deux pour déterminer la loi temporelle du mouvement. Malheureusement, les mathématiciens ne savent pas résoudre l’équation exacte. Donc, il faut utiliser une astuce bien connue des physiciens, soit l’approximation du premier ordre sur la fonction sinus exprimée en radian au voisinage de l’angle zéro, soit :
sin(θ) = θ + quantité négligeable d’ordre 3
Avec cette simplification,on sait résoudre l’équation du mouvement en fonction du temps. Grâce aux travaux antérieurs des mathématiciens, le physicien contemporain peut prouver que le mouvement du pendule se décrit aux faibles amplitudes avec la fonction trigonométrique cosinus, soit :
θ = θmax * cos(ω*t)
avec ω = sqrt(g/L) où sqrt signifie la racine carrée, contraction du terme globish square root, et θmax représente l’amplitude angulaire maximale.
Et la période T du mouvement de faible amplitude du pendule vaut :
T = 2*π/ω = 2*π*sqrt(L/g)
Cette formule, basée sur une approximation, est satisfaisante, car elle concorde avec l’observation empirique initiale. En effet, l’expression de la période est indépendante de l’amplitude du mouvement et de la masse du pendule. Les prédictions du modèle théorique concordent avec les mesures expérimentales, et donc, conséquence logique :
le physicien exulte l

C/Le protocole expérimental de Galilée
Il faudra maintenant faire intervenir deux personnages auxiliaires, Margarita, la bonne grand-mère de Galilée, et Valeria Malatesta, la sémillante assistante du scientifique débutant, deux personnalités attachantes, mais totalement inefficaces. Pour tout dire : aussi inefficaces que l’adjoint demeuré du commissaire sicilien Montalbano, un enquêteur autant perspicace que susceptible, voire volcanique. S’il vous vient à l’esprit l’idée saugrenue de déranger le commissaire Montalbano pendant qu’il déguste ses spaghetti alle vongole, vous subirez alors une réplique d’une éruption de l’Etna, et vous l’aurez bien cherché. Mais ceci est une autre histoire …
Vous connaitrez bientôt la suite passionnante de cette grande épopée scientifique et Italienne, avec un nouvel épisode : le sablier de Galilée !
Mais ce sera réservé pour un nouveau jour, ou une nouvelle nuit, comme le disait au Roy de Perse Shéhérazade, grande experte dans l’art de la narration à rebondissements, ….

A propos Le Rabouilleur

Les affaires et les sciences : telles sont mes deux occupations. Devise : nous n'irons pas à Canossa ! ni à Chicago !
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5 commentaires pour Le pendule de Galilée

  1. Turdus dit :

    Je ne comprends pas pourquoi vous attribuez à Galilée la résolution de cette équation différentielle, cet outil mathématique n’existait pas!

    • Vous pouvez argumenter et prouver vos affirmations svp ?

      • Turdus dit :

        J’ai toujours été convaincu que le maître qui a introduit les équations différentielles en physique fût Isaac Newton, que Galilée était un génie qui parvenait aux mêmes résultats par la physique expérimentale et parfois simplement l’expérience de pensée(comme Einstein). Quelques recherches sur internet donnent effectivement Newton comme inventeur des équations différentielles. Cependant on peut lire ce passage
        « En 1638, il y a donc presque quatre siècles, Debeaune et Galilée proposent les premiers
        problèmes dont la solution sera effectuée à l’aide d’équations différentielles »
        sur le lien suivant:

        Cliquer pour accéder à EMF2003_GT9_Chaachoua.pdf


        Cela ne dit pas qu’ils les utilisèrent. Par ailleurs c’est juste quatre ans avant la mort de Galilée et a naissance de Newton.

  2. Pour Turdus
    Le texte doit être effectivement corrigé sur différents points. Je le ferai plus tard

    • Turdus dit :

      Il est très difficile d’être fidèle à l’histoire quand on n’y était pas. J’ai toujours été méfiant de la soupe que nous servaient les programmes et les inspecteurs quant à l’histoire de sciences, cependant c’est au cours de ma formation en autodidacte d’astronome/astrophysicien que je me suis fait ma propre opinion sur l’évolution des outils de démonstration. J’espère ne pas vous avoir provoqué d’insomnies!!!

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